LA MAGIA DE LOS NUMEROS

Introducción

Los números son algo mágico como pensaban los pitagóricos...  aunque nacieron para contar, ordenar, medir, jugar, establecer pautas armoniosas, codificar,..., guardan en su interior muchos misterios.  

Se inicia la sesión presentando adivinaciones que hace el monitor, de números, edades.., que piensan los asistentes. Luego se pasa a obtener números, midiendo. La ciencia de los números se presenta aquí de manera rigurosa pero divertida.

Los monitores hacen propuestas desde un ordenador a los asistentes. Estos con lápiz, papel y calculadoras responden a lo que se va proponiendo.  

1. NÚMEROS Y CIFRAS

Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,... sirven para contar, es decir para establecer la cantidad de elementos de una colección de cosas y también para ordenar los objetos dentro de una colección.

También se utilizan para establecer códigos para identificar algo. El DNI, el número de teléfono, la matrícula de un coche o el código de barras... que sirven para identificar a una persona, un teléfono, un coche o un producto.

El llegar a la idea de número supuso un largo proceso de abstracción. A cada colección de cosas le corresponde un número y si es posible emparejar los elementos de dos colecciones es que les corresponde el mismo número.

Nuestros ancestros sintieron la necesidad de contar y para ello probablemente utilizaron los diez dedos de las manos e inventaron la numeración decimal.

El cero (que significa nada) fue una gran invención. 503 significa que hay 5 centenas, ninguna decena y 3 unidades. Bajo el reinado de Hammurabi, los matemáticos reservaban un espacio en el lugar sin dígito. El cero apareció en su forma actual (un círculo vacío) entre los mayas y en la India, probablemente antes de Cristo. Aryabhata, matemático indio, lo empleaba en el siglo V. El matemático árabe Al-Khwarecemi lo difundió en el 825.

Nuestras cifras llamadas arábigas (que los árabes llaman hindúes) fueron introducidas en Europa Occidental a finales del siglo X por el Papa Silvestre II. Su uso se difundió por Italia y España y luego por todo Occidente entre los siglos XII y XIV.

Luego están las operaciones con los números: suma, resta, multiplicación y división

EXPERIMENTO 1. NÚMEROS REPETIDOS

La magia del número 9

0 x 9 + 8 = 8

9 x 9 + 7 = 88

98 x 9 + 6 = 888

987 x 9 + 5 = 8888

9876 x 9 + 4 = 88888

98765 x 9 + 3 = 888888

987654 x 9 + 2 = 8888888

9876543 x 9 + 1 = 88888888

98765432 x 9 + 0 = 888888888

9876544321 x 9 – 1 = 8888888888

9876543210 x 9  - 2 = 88888888888

 

 

9 – 1 = 8

98 – 21 = 77

987 – 321 = 666

9876 – 4321 = 5555

98765 – 54321 = 44444

987654 – 654321 = 333333

9876543 – 7654321 = 2222222

98765432 – 987654321 = 11111111

987654321 – 987654321 = 000000000

 

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 =

123456 x 9 + 7 =

1234567 x 9 + 8 =

 

9 – 1 = 8

98 – 21 = 77

987 – 321 = 666

9876 – 4321 = 5555

98765 – 54321 = 44444

987654 – 654321 = 333333

9876543 – 7654321 = 2222222

98765432 – 987654321 = 11111111

987654321 – 987654321 = 000000000

 

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 =

123456 x 9 + 7 =

1234567 x 9 + 8 =

El número 37

 

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37 = 444

15 x 37 =

18 x 37 =

21 x 37 =

24 x 37 =

27 x 37 =

El número 15873

 

7 x 15873 = 111111

14 x 15873 = 222222

21 x 15873 = 333333

28 x 15873 =

35 x 15873 =

42 x 15873 =

49 x 15873 =

56 x 15873 = 

EXPERIMENTO 2. Averiguar la edad

  • Se pide que se elija una cifra del 1 al 9 y que se multiplique por 9
  • Se pide que multipliquen la edad por 10
  • Se pide que resten este resultado del segundo y anuncian el resultado

 

Si el resultado tiene 3 cifras, suma la última cifra a las dos primeras, ésa es la edad. Si el numero anunciado tiene dos cifras, súmalas y obtendrás la edad

 

Ejemplo

 

- Se elige 4.     9* 4 = 36

 

- Edad 58        58* 10 =580

 

  • 580 – 36 = 544

 

54+4 = 58

 

 

Se elige el 5                 9* 5 = 45

 

Edad  30                     10*30 = 300

 

300 –45 = 255            25 + 5 = 30

2. Criptogramas

La criptografía es el arte de las escrituras secretas. Se trata de transformar un mensaje claro en un mensaje secreto que solo puede ser leído por su destinatario legítimo. Julio Cesar dio su nombre al método utilizado por los romanos para proteger la información. Santa Teresa utilizaba en sus cartas códigos. También Felipe II utilizaba el cifrado para sus comunicaciones con el Duque de Alba (Archivo General de Simancas). Se utilizan sistemas de codificación en la diplomacia, en el espionaje, en la guerra. Uno de los ejemplos es el mensaje enviado en 1941 por un espía japonés justo antes del bombardeo de Pearl Harbour. En la segunda guerra mundial los alemanes diseñaron una máquina de cifrado llamada ENIGMA que funcionaba por una combinación de dispositivos mecánicos y eléctricos. El servicio de inteligencia británico consiguió hacer saltar el código

 EXPERIMENTO 3. Mensajes secretos

Un método de codificación utilizado por Julio Cesar consistía en reemplazar en el alfabeto cada letra por otra situada tres puestos más allá (clave césarea). Para facilitar el trabajo se utilizaba un artilugio constituido por dos tiras con el alfabeto, una desplazada con respecto a la otra.

Las dos tiras se pueden presentar en la pantalla y utilizarlas para facilitar el trabajo con la clave  C: M à M + 3 (M mensaje, C: cifrado, clave 3).  

Se pone una palabra en clave y hay que descifrarla

Ejemplo

En 2001, Una Odisea en el espacio, la película de Stanley Kubric, basada en la novela de Arthur C. Clarke, aparece un ordenador que habla, se llama HAL (algoritmo programado heuristicamente). Si se aplica C: M à M + 1  H à I , A à B, L à M à IBM

3. MEDIDAS

Magnitudes y su medida

Los conceptos que maneja la ciencia están muchas veces con la vida cotidiana, en la observación directa. Algunos conceptos como caliente o frío, rápido o lento, ligero o pesado, son demasiado imprecisos. A otros sin embargo, como la longitud, se les puede asignar un número que se llama su medida, que nos ayuda a comparar. Se les llama magnitudes.

Medir una magnitud es compararla con otra de la misma especie que se toma como unidad. El resultado de una medida es un número seguido de la unidad que se ha utilizado.

3.1. Medida de longitudes

Los antecedentes históricos de los sistemas de medición de longitudes son reflejo de las necesidades de una sociedad en cada momento. Muchos sistemas de unidades tienen como base el cuerpo humano. Los egipcios utilizaban:

- Dígito: anchura de un dedo

- Palma: 4 dedos

- Mano: cinco dedos

- Cúbito: distancia desde el codo a la punta de los dedos = 28 dedos

Las traducciones tradicionales de la Biblia dan la estatura del gigante Goliat (I Samuel 17:4), el tamaño del arca de Noé (Génesis 6:15) y la profundidad del diluvio (Génesis 7:20), expresadas en cúbitos).

Los romanos recurrían a las longitudes de un pie y un paso, definido por la distancia que medía, al caminar desde el punto en que un talón deja el suelo hasta donde hace contacto con el siguiente. La milla romana, igual a 1000 pasos (mille passus) se utilizaba para medir las distancias recorridas por las legiones.

Las variaciones en estas unidades  hicieron sentir la necesidad de una medida patrón. El rey Enrique I de Inglaterra, que reinó en el siglo XII, decretó que la yarda era la distancia que mediaba entre las puntas de su nariz y su dedo pulgar. Después Eduardo I hizo construir una yarda patrón con una barra de hierro y estipuló que el pie fuese exactamente igual a la tercera parte de tal longitud.

Otras unidades tienen que ver con el cuerpo humano y que junto con la yarda se utilizan aún en el Reino Unido, los Estados Unidos y Canadá. La pulgada inglesa tiene relación con la anchura del pulgar, el pie con la longitud de un pie de hombre.

En 1790 los sabios franceses de la época revolucionaria, hacia 1790, definieron el metro que ya no dependía de medidas basadas en el hombre.

Una curiosidad: La distancia que hay que recorrer en una Maratón

En el año 490 a.C, durante la primera guerra médica, Miliciades, al frente de 11000 griegos, venció a los 72000 persas de Dario I el Grande, en Maratón, ciudad situada a aproximadamente 40 kilómetros de Atenas. Un soldado griego, Fílipides, corrió desde Maratón hasta Atenas para anunciar la victoria. Murió de agotamiento a su llegada.

Para inmortalizar esta epopeya, el helenista Michel Bréal propuso incorporar una prueba semejante en los Juegos Olímpicos. En los Juegos de 1896, 1900 y 1904 la prueba se corrió sobre esa distancia.

Organizados los Juegos en Gran Bretaña en 1908, la esposa de Eduardo VII, Alejandra, quiso que la salida se diera bajo las ventanas del castillo de Windsor, a 2,195 km de distancia del punto previsto. Como se mantuvo la llegada en el estadio de White City, el recorrido de la maratón fue de 42,195 Km, al igual que en todos los siguientes.

 EXPERIMENTO 4.  Una yarda real

Con una cinta métrica se define la yarda con uno de los asistentes, actuando de rey, y se pasa a metros. Luego se miden distancias de la habitación en yardas.

 

EXPERIMENTO 5. Un corro alrededor del mundo

Se mide la distancia media que hay entre las manos de una persona con los brazos extendidos. ¿Cuántas personas hacen falta para llegar de Madrid a Zaragoza (320 kms)? ¿Y para abarcar el perímetro de la Tierra (40.000 km)? ¿y para abarcar la distancia de la Tierra a la Luna (384000 kms)?

 3.2. Medidas de tiempos.

Para medir el tiempo las primeras unidades de tiempo nacieron mirando el cielo y observando la existencia de movimientos cíclicos que se repiten de forma regular e indefinida. La primera unidad fue el día. Después para facilitar la medida del tiempo transcurrido desde un momento determinado fue necesario utilizar el calendario, especialmente útil cuando se quieren medir tiempos grandes.

Para medir tiempos pequeños el día resulta demasiado grande y se necesitan unidades cada vez más pequeñas (horas, minutos y segundos...) e instrumentos para realizar su medida, los relojes.

Se tiene conocimiento de la existencia de los relojes de sol en la civilización egipcia, los obeliscos eran relojes de sol horizontales cuya sombra indicaba la hora y también en Grecia y Roma. La hegemonía de estos relojes duró hasta avanzada la edad media.

También tienen una gran antigüedad los relojes que medían el tiempo con materiales como el agua y la arena, que al fluir a través de un pequeño orificio medían intervalos de tiempo. Las clepsidras miden el tiempo con agua. Se conocen clepsidras egipcias que tienen una antigüedad de 3500 años. En plena Edad Media máquinas chinas y árabes medían el tiempo con un  sistema de engranajes que utilizaban el agua como principio motor.

Una tercera técnica se basa en un fenómeno mecánico regular, las vueltas de un engranaje del que se cuentan las repeticiones. La isocronía del péndulo, descubierta por Galileo, permitió a Huygens la construcción de relojes con una precisión considerable. Después el primer cronómetro o cronómetro marino, después la invención del reloj de péndulo...

 La invención de los primeros relojes en la edad media tiene relación con necesidades sociales, en concreto con la determinación de las horas en las que las comunidades de mojes debían rezar, o bien, como ocurre en el caso del cronómetro con los problemas de navegación oceánica. La necesidad de conocer la posición de un barco en alta mar que se hizo una necesidad cuando se iniciaron los viajes al nuevo mundo. La posición de un barco se resuelve conociendo la longitud y la latitud del lugar en el que se encuentra. La latitud podía determinarse por la altura del Sol a medio día o por la altura de la estrella polar a media noche. La longitud sólo podía determinarse por la combinación de la posición de los astros y de un reloj preciso cuyo funcionamiento no se viera afectado por el movimiento del barco y que permitiera conocer, en un momento determinado, la hora en el puerto donde había salido el barco.

Las unidades de medida menores que el segundo siguen, como las unidades de longitud, una estructura decimal  (décimas, centésimas y milésimas). Sin embargo la división de la hora en minutos y segundos sigue una estructura sexagesimal, de base 60, cuyo origen se remonta a los babilonios y que se encuentra en la medida de ángulos lo que muestra la relación que existía entre ambos por las necesidades en la navegación.

Una curiosidad: La vuelta al mundo en ochenta días

Los 24 husos horarios fijan también el día de la semana. En la antípoda del meridiano de Grennwich se encuentra el meridiano 180 que recibe el nombre de línea de cambio de fecha, situado en el uso 12.

Para un navegante que vaya de este a oeste, los días son más largos porque sigue la dirección del sol. Cuando cruza la línea de cambio de día no cambia la hora pero debe adelantar en un día la fecha de su diario de a bordo.

Para un navegante que vaya de oeste a este, los días son más cortos. Cuando cruza la línea de cambio de día, debe retrasar en un día la fecha de su diario de a bordo.

En 1522, Juan Sebastián Elcano llegó a Sanlúcar de Barrameda con 18 compañeros. Estos supervivientes de la expedición emprendida por Magallanes el 20 de Septiembre de 1519 con 265 marinos a bordo de cinco naves acababan de dar la primera vuelta al mundo (en dirección oeste). Elcano llegaba al puerto el Sabado 6 de Septiembre de 1522 pero en su diario de navegación constaba viernes 5. Ignoraba el fenómeno de cambio de fecha. El cambio de fecha fue utilizado por Julio Verne en La vuelta al mundo en 80 días

EXPERIMENTO 5. Relojes

Se muestran diferentes relojes: uno de arena, uno de péndulo, construido con materiales sencillos, uno que muestra las horas y minutos con bolas que van cayendo. Estos dos últimos relojes marcan el tiempo de la sesión.  

4. DOS NÚMEROS IRRACIONALES p Y f

 4.1. EL NÚMERO p

Es la constante más famosas de las matemáticas. Es la relación entre el perímetro de un círculo (longitud de su circunferencia) y su diámetro. Vale 3,1415926535... Diferentes aproximaciones de esta relación existen desde la antigüedad. En el antiguo testamento (Libro de los Reyes VII,23) se afirma que p vale 3.

Experimento 6. Obtención del número pi

La circunferencia de un círculo es la longitud a todo lo largo del mismo; el diámetro es la distancia a través del circulo a través de su centro.

Mide la circunferencia y el diámetro de la parte superior de una colección de objetos cilíndricos con la mayor exactitud posible y escribe los resultados en la siguiente tabla

Circunferencia

Diámetro

Circunferencia /Diámetro

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El cociente va dando una serie de aproximaciones razonables del número p.

 4.2. El número f

Santo Tomás de Aquino afirmaba: La armonía de las proporciones satisface los sentidos... la mitad de la admiración sería el comprenderlo. El secreto está en el número áureo de valor 1,618037

 

EXPERIMENTO 7. Obtención del número j en los objetos y en nuestro cuerpo

- La mayoría de las tarjetas magnéticas tienen las mismas dimensiones, aproximadamente 8,5 cm de largo por 5,4 cm de ancho, lo que da una razón aproximada de 1,6 entre largo y ancho. Igual los naipes o el frontal de una cajetilla de tabaco. Comprobar este hecho.

De la misma manera comprobar que:

  1. Si la distancia entre la uña y la primera falange es a, el de la siguiente es a·j, el de la siguiente a·j2, a·j3
  2. La longitud del antebrazo es igual a la de la mano x j
  3. La talla de un cuerpo humano de proporciones armoniosas viene dada por la distancia entre el ombligo y el suelo multiplicada por 1,618

 5. ECUACIONES E INCOGNITAS

Desde la época de los faraones, el objeto básico del álgebra ha permanecido invariable: hacer posible la solución de un problema matemático en el que hay un número desconocido. La incógnita se representa por un símbolo abstracto que se utiliza hasta que se determina su valor numérico. Para precisar el problema se establece una ecuación...

En la era griega, apareció Diofanto, a quien se ha llamado el “Padre del Álgebra”, fue el primero en abreviar sistemáticamente sus pensamientos con símbolos.  

Durante la Edad media, una sucesión de matemáticos hindúes y musulmanes transmitieron el álgebra desde un oasis de cultura – un sultanado o califato – al siguiente. No crearon muchos conocimientos nuevos pero gracias a la práctica quitaron a las ecuaciones su misterio y dieron lugar a la palabra álgebra.

Se llaman ecuaciones diofánticas aquellas que sólo admiten números enteros (los naturales positivos y negativos) como solución.

Resolver ecuaciones es sencillo, más difícil es plantearlas. Hacer una traducción de la lengua materna al lenguaje algebraico, que es mucho más lacónico.

 

 EXPERIMENTO 8. La edad de Diofanto (a partir de 3º de la ESO)

En la tumba de Diofanto se encuentra el siguiente mensaje: ¡Caminante!. Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡oh milagro!, Cuan larga fue su vida. Cuya sexta parte constituye su infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose la barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito. Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra y duró sólo la mitad de la edad de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años a la muerte de su hijo. ¿Cuántos años vivió Diofanto?

 

En lenguaje natural

En lenguaje algebraico

¡ Caminante !. Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡ oh milagro!, cuan larga fue su vida

X

Cuya sexta parte constituye su infancia

X/6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose la barbilla

X/12

Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril

X/7

Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito

5

Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia a la tierra y duró sólo la mitad de la edad de su padre

X/2

Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años a la muerte de su hijo

X = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

 

¿Cuantos años vivió Diofanto?

 

Resolviendo la ecuación da para x una edad de 84 años

 

EXPERIMENTO 9. El arte de adivinar números

Se piensa en un número y luego después de realizar una serie de operaciones se averigua el número.

 El truco que se utiliza es pedir que se piense un número y después de realizar las operaciones, el adivinador pide que le den el resultado y a continuación adivina el número

Lenguaje materno

Lenguaje algebraico

Piensa un número

x

Suma 2

x + 2

Multiplica el resultado por 3

3x + 6

Resta 5

3x + 1

Resta el número pensado

2x + 1

Multiplica por 2

4x + 2

Resta 1

4x +1

Por ejemplo si se ha dicho al adivinador 33, 4x + 1 = 33,        4x=32,         x = 8